Si para todo número real x se cumple que (x + p)(x - q) = x² - 8x + r, con p, q y r números enteros y r > 0, ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es (son) verdadera(s)?

I.   p ≠ q

II.  p < q

III. p ⋅ q < 0

DEMRE / Universidad de Chile (2021). Modelo de Prueba de Matemática.

Igualamos los polinomios

\[ (x+p)(x-q)=x^{2}-8x+r. \]

1) Expandir el lado izquierdo

\[ (x+p)(x-q)=x^{2}+(p-q)x-pq. \]

2) Comparar coeficientes

• Coeficiente de \(x\):  \(p-q=-8\)  \(\Longrightarrow\)  \(p=q-8\).
• Término independiente:  \(-pq=r\).

3) Analizar cada proposición

I. \(p\neq q\)
Como \(p=q-8\), claramente \(p\neq q\).

II. \(p<q\)
De \(p=q-8\) se deduce \(p<q\) (se resta 8).

III. \(p\cdot q<0\)
Se sabe \(r>0\) y \(-pq=r\); por lo tanto \(-pq>0\)  \(\Longrightarrow\)  \(pq<0\).

Conclusión: las tres afirmaciones son verdaderas.

Respuesta: I, II y III (alternativa E).