Si  \(\log _2\left(-2x+3p\right)=3\) y  \(\log _3\left(x+2p\right)=1\), ¿cuál es el valor de (x − 2p)?

DEMRE / Universidad de Chile (2021). Modelo de Prueba de Matemática.

Paso 1. Convertir los logaritmos en ecuaciones

1. \(\displaystyle \log_{2}(-2x + 3p) = 3 \;\Longrightarrow\; -2x + 3p = 2^{3} = 8\).
2. \(\displaystyle \log_{3}(x + 2p) = 1 \;\Longrightarrow\; x + 2p = 3^{1} = 3\).

Paso 2. Resolver el sistema

• De la segunda ecuación: \(x = 3 - 2p\).
• Sustituimos en la primera:
  \(-2(3 - 2p) + 3p = 8\)  ⇒  \(-6 + 4p + 3p = 8\)  ⇒  \(7p = 14\)  ⇒  \(p = 2\).
• Entonces \(x = 3 - 2(2) = 3 - 4 = -1\).

Paso 3. Calcular \(x - 2p\)

\(x - 2p = -1 - 2(2) = -1 - 4 = -5\).

Conclusión: el valor de \(x - 2p\) es \(-5\).

Alternativa correcta: D) \(-5\).