¿Cuál de los siguientes conjuntos contiene a todos los números reales p para los cuales la ecuación \(3x^2-px-\frac{1}{3}=0\) tiene dos soluciones reales distintas?
DEMRE / Universidad de Chile (2021). Modelo de Prueba de Matemática.
]-\(\infty, \infty\)[
]-\(\infty, -2[ \cup ]2, \infty\)[
]-2, 2[
]2, \(\infty\)[
\(\emptyset\)
1
Paso 1. Identificar los coeficientes del trinomio cuadrático
La ecuación es \(3x^{2} - px - \dfrac13 = 0\). Sus coeficientes son:
Paso 2. Condición para que existan dos soluciones reales distintas
Para un trinomio cuadrático \(ax^{2} + bx + c = 0\), se tienen dos raíces reales y distintas cuando el discriminante cumple
\(\displaystyle \Delta = b^{2} - 4ac > 0.\)
En nuestro caso:
\(\displaystyle \Delta \;=\; (-p)^{2} \;-\; 4 \cdot 3 \left(-\dfrac13\right) \;=\; p^{2} \;+\; 4.\)
Paso 3. Analizar la desigualdad
\[ \Delta = p^{2} + 4 > 0 \quad \text{para todo } p \in \mathbb{R}, \] porque \(p^{2} \ge 0\) y el término constante \(4\) asegura que la suma nunca sea cero.
Conclusión
La ecuación presenta dos soluciones reales distintas para cualquier número real \(p\). El conjunto que contiene todos esos valores es el intervalo abierto
\(\displaystyle (-\infty,\,\infty)\).
Respuesta correcta: A) ]-∞, ∞[
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