En la figura adjunta, AC = 12 cm y AO = 2 ⋅ BP.

¿Cuál es la suma de las áreas de los dos semicírculos de centro O y P?

DEMRE / Universidad de Chile (2021). Modelo de Prueba de Matemática.

Datos y relaciones que se observan

• El segmento completo \(AC = 12\ \text{cm}\).
• El centro O es el punto medio del diámetro mayor \(\overline{AB}\), de modo que \(AB = 2\,AO\).
• El centro P es el punto medio del diámetro menor \(\overline{BC}\), así que \(BC = 2\,BP\).
• Además, se indica que \(AO = 2\,BP\).

1. Calcular las longitudes básicas

Sea \(AO = x\); entonces:

• \(AB = 2x\)
• \(BP = \dfrac{x}{2}\)
• \(BC = 2\,BP = 2\left(\dfrac{x}{2}\right)=x\)

Como \(AC = AB + BC\), se obtiene:

\(2x + x = 12 \quad\Rightarrow\quad 3x = 12 \;\Rightarrow\; x = 4\ \text{cm}\).

2. Radios de los semicírculos

• Semicírculo mayor (centro O): \(\displaystyle R = AO = 4\ \text{cm}\).
• Semicírculo menor (centro P): \(\displaystyle r = BP = \dfrac{x}{2} = 2\ \text{cm}\).

3. Áreas

• Área del semicírculo mayor: \(\displaystyle \tfrac{1}{2}\pi R^{2} = \tfrac{1}{2}\pi(4)^{2} = 8\pi\ \text{cm}^{2}\).
• Área del semicírculo menor: \(\displaystyle \tfrac{1}{2}\pi r^{2} = \tfrac{1}{2}\pi(2)^{2} = 2\pi\ \text{cm}^{2}\).

4. Suma de áreas

\(8\pi + 2\pi = 10\pi\ \text{cm}^{2}\).

Respuesta: \(10\pi\ \text{cm}^{2}\).