¿Cuál(es) de las siguientes semejanzas es (son) verdadera(s)?

I.    \(\triangle ABC\space \sim \triangle MNP\) 

M, N y P son los puntos medios de los lados del ΔABC 

II.    

 \(\overline{MN}//\overline{AB}\),   \(\overline{NP}//\overline{CB}\) y  \(\overline{PM}//\overline{AC}\) 

III.  \(\triangle ABC\space \sim \triangle CBD\)

 \(\overline{CD}\perp \overline{AB}\) 

 

DEMRE / Universidad de Chile (2021). Modelo de Prueba de Matemática.

Planteamiento del ejercicio

En la figura se considera el triángulo \(\triangle ABC\) y los puntos medios \(M\), \(N\) y \(P\) de sus lados. Además, en un segundo diagrama aparecen segmentos que unen estos puntos medios, y en el tercero se muestran los triángulos \(\triangle ABC\) y \(\triangle CBD\) con un cuadrado en \(C\) indicando un ángulo recto.

Afirman:

1. \(\triangle ABC\sim \triangle MNP\).
2. \(MN\parallel AB,\;NP\parallel CB,\;PM\parallel AC\).
3. \(\triangle ABC\sim \triangle CBD\).

Análisis de I)

• Los puntos \(M,N,P\) son los puntos medios de los lados de \(\triangle ABC\).
• El “triángulo medial” \(\triangle MNP\) siempre es semejante al original, con razón de semejanza \(1:2\).
• Por tanto, I es verdadera.

Análisis de II)

• En todo triángulo, el segmento que une puntos medios de dos lados es paralelo al tercer lado.
• \(MN\) une los puntos medios de \(BC\) y \(AC\) ⇒ \(MN\parallel AB\).
• \(NP\) une los puntos medios de \(AC\) y \(AB\) ⇒ \(NP\parallel CB\).
• \(PM\) une los puntos medios de \(AB\) y \(BC\) ⇒ \(PM\parallel AC\).
• Por tanto, II es verdadera.

Análisis de III)

• Se marca un cuadrado en el vértice \(C\) de \(\triangle ABC\), lo que indica \(\angle ACB=90^\circ\), es decir \(AC\perp BC\).
• En \(\triangle CBD\), los puntos \(A,D,B\) están alineados sobre la base, por lo que el segmento \(CD\) es la prolongación de la altura desde \(C\).
• Así, en \(\triangle CBD\) el ángulo en \(C\) es \(\angle BCD\), formado por \(BC\) y \(CD\), y también es recto (\(90^\circ\)).
• Ambos triángulos comparten además el ángulo en \(B\) (ya que \(D\) está en la línea \(AB\)).
• Con dos ángulos correspondientes iguales, los triángulos son semejantes.
• Por tanto, III es verdadera.

Conclusión final

Las tres afirmaciones I, II y III son correctas; el conjunto de semejanzas verdaderas es:

I, II y III.