Un profesor plantea la siguiente situación: dos postes verticales, A y B, están a una distancia de 4 m y 12 m, respectivamente, de una estaca enterrada en el suelo. De esta sale un cable recto que la une con las cimas de los postes, como se representa en la siguiente figura.

El profesor solicita a Marcela que determine la altura del poste B. Ella realiza el siguiente procedimiento:

Paso 1: considera que con los datos del ejercicio se puede plantear la igualdad \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{\text{altura poste B}}{8}.\)

Paso 2: multiplica por 8 en ambos lados de la igualdad, obteniendo \(\dfrac{3\centerdot 8}{4}\) = altura poste B.

Paso 3: realiza la operatoria, obteniendo que la altura del poste B es 6 m.

¿En qué paso Marcela cometió un error?

DEMRE / Universidad de Chile (2021). Modelo de Prueba de Matemática.

Planteamiento geométrico

• Stake en el suelo: punto S, altura cero.
• Poste A a 4 m de S, altura \(h_A=3\) m.
• Poste B a 12 m de S, altura desconocida \(h_B\).
• Un cable recto une la cima de A —\,S y pasa también por la cima de B.

Ecuación de la recta del cable

Pasa por \((x_S,y_S)=(0,0)\) y \((x_A,y_A)=(4,3)\), luego su pendiente es

\(\displaystyle m=\frac{3-0}{4-0}=\frac{3}{4}.\)

La recta viene dada por \(y=(3/4)\,x\). Para el poste B, con \(x_B=12\):

\(\displaystyle h_B \;=\;\frac{3}{4}\times 12 \;=\;9\text{ m}.\)

Análisis de los pasos de Marcela

1. Paso 1: Plantea \(\tfrac{3}{4}=\dfrac{\text{altura B}}{8}\).
   – Error: la distancia horizontal relevante entre B y S es 12 m, no 8 m.
2. Paso 2: Multiplica por 8, obteniendo \(\tfrac{3\cdot8}{4}\).
   – Está usando la proporción equivocada de la etapa anterior.
3. Paso 3: Calcula \(\tfrac{3\cdot8}{4}=6\).
   – El error inicial lleva a un resultado incorrecto.

Conclusión

El error está en el Paso 1, donde se relaciona mal la pendiente con la distancia horizontal.