Una empresa constructora debe modificar la escalera recta de un edificio para incorporarle un descanso de 1 m. Al hacer un corte transversal a la escalera, lo que se debe eliminar está representado en un triángulo (ABC) para luego añadirle los peldaños, tal como se representa en la siguiente figura:

Para poder hacer el descanso con las especificaciones de la figura, ¿cuál debe ser la medida de \(\overline{AB}\)?

DEMRE / Universidad de Chile (2021). Modelo de Prueba de Matemática.

Análisis paso a paso

1. Ubicar los puntos en un sistema de coordenadas sencillo
   Colocamos el vértice inferior izquierdo en \((0,0)\).
   
   • La escalera original es un triángulo rectángulo con base 9 m y altura 6 m, luego el vértice superior está en \(A=(0,6)\) y el vértice inferior derecho en \((9,0)\).
   • La recta que forma la rampa original (hipotenusa) tiene ecuación \(y = 6-\dfrac23x\).
2. Localizar el punto C
   El descanso se ubica a 2 m sobre el suelo; por tanto \(C\) está a la altura \(y=2\) sobre la rampa original.
   

   Sustituyendo \(y=2\) en la ecuación de la rampa:

   \[ 2 \;=\; 6-\frac23x \;\;\Longrightarrow\;\; x=6. \] Así, \(C=(6,2)\).
3. Determinar la posición de B
   El plano del descanso tiene 1 m de longitud horizontal. Ese 1 m corresponde a la distancia entre las rectas verticales que pasan por \(B\) y por \(C\).
   

   Como \(x_C=6\), resulta

   \[ x_B = x_C - 1 = 5, \] y \(B=(5,2)\).
4. Calcular la longitud de \(\overline{AB}\)
   El segmento \(AB\) forma un triángulo rectángulo cuyos catetos miden \( \Delta x = 5 \) m y \( \Delta y = 6-2 = 4 \) m. Por el teorema de Pitágoras: \[ AB = \sqrt{5^{2} + 4^{2}} \;=\; \sqrt{25 + 16} \;=\; \sqrt{41}\;\text{m}. \]

Respuesta: \( \boxed{\sqrt{41}\text{ m}} \) (opción B).