La siguiente figura representa una cancha rectangular de 36 m de largo.

Una persona ubicada en la esquina A envía un balón en línea recta a ras de piso a otra persona situada en el punto P a 32 m de distancia, mientras que las personas ubicadas en la esquina B y en el punto Q realizan el mismo ejercicio con otro balón. En cierto instante los balones chocan en el punto M. Las personas situadas en P y Q están en el mismo borde de la cancha y el balón enviado desde A recorre 24 m hasta el choque. ¿Qué distancia separa a las personas ubicadas en P y en Q?

DEMRE / Universidad de Chile (2021). Modelo de Prueba de Matemática.

Datos del problema

• La cancha es un rectángulo de 36 m de largo (AB).
• El balón que parte de A recorre 32 m hasta P; al chocar ha recorrido solo \( \tfrac{24}{32} = \tfrac34 \) de su trayecto.
• El balón que parte de B hacia Q también ha avanzado \( \tfrac34 \) de su recorrido cuando se encuentra en M.

Paso 1. Asignar coordenadas

• Ubicamos \(A=(0,0)\) y \(B=(36,0)\).
• P y Q están sobre el borde superior \(y=h\):
    \(P=(x_P,\,h)\) y \(Q=(x_Q,\,h)\).
• Del dato \(AP = 32\text{ m}\) se deduce \(x_P^{2} + h^{2} = 32^{2} = 1024\).

Paso 2. Coordenadas del punto de choque \(M\)

• En \( \overline{AP} \): \(M\) divide el segmento en razón \(AM:MP = 3:1\), por lo que
  \(M = \bigl(\tfrac34 x_P,\;\tfrac34 h\bigr).\)
• En \( \overline{BQ} \): análogamente
  \(M = \bigl(36 + \tfrac34(x_Q - 36),\;\tfrac34 h\bigr).\)

Paso 3. Igualar abscisas de \(M\)

\[ 36 + \tfrac34(x_Q - 36) \;=\; \tfrac34 x_P \] Multiplicando por 4 y simplificando:
\(36 + 3x_Q = 3x_P \;\Longrightarrow\; x_P = x_Q + 12.\)

Paso 4. Distancia \(PQ\)

Como ambos puntos están en la misma horizontal: \[ PQ = x_P - x_Q = 12\text{ m}. \]

Respuesta final: 12 m (opción C).