A la circunferencia de centro O y radio R se le aplica una homotecia con centro O, obteniéndose una circunferencia de centro O y radio r, con R > r, tal como se muestra en la figura adjunta.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I)   La razón de homotecia es distinta de 1.
II)  La razón de homotecia puede ser negativa.
III) Si se conoce la razón de homotecia, entonces se conoce la razón entre sus radios.

DEMRE / Universidad de Chile (2021). Modelo de Prueba de Matemática.

Concepto clave – homotecia (dilatación)
Una homotecia de centro O y razón k multiplica todas las distancias al centro por k. Para una circunferencia de radio R se obtiene otra de radio r = |k|\,R.

Análisis de cada enunciado

1. I) “La razón de homotecia es distinta de 1”.
   Como \(R > r\), se cumple \(|k| = r/R < 1\). Por lo tanto, \(k \neq 1\). Verdadero.
2. II) “La razón de homotecia puede ser negativa”.
   Matemáticamente la razón k puede tomar valores negativos; un k negativo invierte la figura a través del centro, dando igualmente un radio \(|k|R\). Verdadero.
3. III) “Si se conoce la razón de homotecia, entonces se conoce la razón entre sus radios”.
   Precisamente \(r/R = |k|\); basta conocer k para determinar esa razón. Verdadero.

Conclusión
Son verdaderas las afirmaciones I, II y III.

Respuesta: E) I, II y III.