Sean A(1, 1), B(5, 3) y C los vértices de un triángulo.

Se pueden determinar las coordenadas del vértice C del triángulo si se sabe que:

(1) \(\angle BAC = 90^\circ\)
(2) el triángulo es isósceles y el vértice C está en el cuarto cuadrante.

DEMRE / Universidad de Chile (2021). Modelo de Prueba de Matemática.

Problema:
Se conocen dos vértices del triángulo, \(A(1,1)\) y \(B(5,3)\). ¿Qué conjuntos de datos permiten encontrar unívocamente las coordenadas del vértice \(C\)?

Análisis de cada información

(1)  ∠BAC = 90°

• El vector \(\overrightarrow{AB}=(4,2)\).
• Para que \(\overrightarrow{AC}\) sea perpendicular a él debe cumplirse \(4(x-1)+2(y-1)=0\), esto es \(y=3-2x\).
• Este enunciado sitúa a \(C\) en la recta \(y=3-2x\), la cual contiene infinitos puntos. No determina a \(C\) de forma única.

(2)  El triángulo es isósceles y \(C\) está en el IV cuadrante

• “Isósceles” no especifica qué lados son iguales (AC = BC, AC = AB o BC = AB).
• Cada posibilidad describe, respectivamente, la mediatriz de \(AB\) o bien circunferencias con centro en \(A\) o en \(B\), todas ellas con infinitos puntos en el cuarto cuadrante.
  Tampoco basta por sí sola.

Información combinada (1) y (2)

1. De (1): \(C\) está en la recta \(y=3-2x\).
2. Substituyendo en cada caso de isosceles:
   • AC = BC → sin solución.
   • BC = AB → única solución \(C=(1,1)\) (descartada por ser el punto A y no estar en IV cuadrante).
   • AC = AB → se obtiene \((x-1)^2+(y-1)^2=20\); con \(y=3-2x\) resulta \(x=3,\,y=-3\).
3. \(C=(3,-3)\) está en el cuarto cuadrante y satisface todos los requisitos.

Por lo tanto, con ambas condiciones a la vez se fija un único vértice \(C\).

Conclusión
Solo el conjunto de datos (1) y (2) juntos permite determinar de forma única las coordenadas de \(C\).

Respuesta correcta: A) Ambas juntas, (1) y (2).