En la tabla adjunta se muestra la distribución del Ingreso Promedio Familiar (IPF) de un grupo de familias en una pequeña localidad, en la que el IPF se calcula como el ingreso total de la familia dividido por el número de integrantes.

IPF en \(\\)	Frecuencia
[0, 50.000[	100
[50.000, 75.000[	70
[75.000 - 150.000[	50
[150.000, 250.000[	20
[250.000, 500.000[	10

Para una familia de n integrantes con un ingreso total de $300.000 , ¿qué condición debe cumplir n para asegurar que el IPF de esa familia pertenezca al intervalo en el que está el percentil 50 de los datos?

DEMRE / Universidad de Chile (2021). Modelo de Prueba de Matemática.

Paso 1. Localizar el percentil 50 en la tabla

• Total de familias: 250.
• El percentil 50 (la mediana) se halla en la posición \(0,5 \times 250 = 125\).
• El acumulado alcanza 125 dentro del segundo intervalo \([50 000,\;75 000[\).

Paso 2. Condición para el IPF de la familia

Para una familia con ingreso total de \$300 000 y n integrantes:

\(\displaystyle\text{IPF} = \frac{300\,000}{n}\).

Debe cumplirse

\(50\,000 \le \dfrac{300\,000}{n} < 75\,000.\)

Paso 3. Resolver las desigualdades

• \(50\,000 \le \dfrac{300\,000}{n} \;\Longrightarrow\; 300\,000 \ge 50\,000 n \;\Longrightarrow\; n \le 6.\)
• \(\dfrac{300\,000}{n} < 75\,000 \;\Longrightarrow\; 300\,000 < 75\,000 n \;\Longrightarrow\; n > 4.\)

Resultado

La condición buscada es:
\(4 < n \le 6\).

Opción correcta: C) 4 < n ≤ 6.